Jumat, 04 Juli 2014

ARITMATIKA JAM & ARITMATIKA MODULAR



1.      ARITMATIKA JAM
Angka-angka yang terdapat pada permukaan sebuah jam adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.11, dan 12 pada aritmatika jam angka-angka yang dapat dipergunakan adalah persis sama dengan angka-angka pada jam tersebut dan tidak mengenal adanya bilangan negatif.
a. Penjumlahan  
Aritmatika jam ada 3 jenis, berikut jenis aritmatika jam beserta contohnya dalam penjumlahan:
·         jam 12-an = 9 + 6 = 3, karena 9+6= 15: 12 sisa 3
·         jam 7-an = 5 + 4 = 2, karena 5+4 = 9 : 7 sisa 2
·         jam 5-an = 4 + 5 = 4, karena 4 + 5 = 9 : 5 sisa 4

Untuk memudahkan dalam menentukan hasil operasi penjumlahan dalam aritmatika jam -12 tanpa memperhatikan apakah siang atau malam maka digunakan TABEL berikut :
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11


b. Pengurangan
Tabel penjumlahan di atas dapat juga digunakan untuk mencari hasil operasi pengurangan, sebagai contoh misalnya, apabila sekarang jam 7 pagi, pukul berapa 9 jam yang caranya adalah sebagai berikut: 
Hal ini dapat juga dilakukan dengan mencari angka 7 pada kolom ke sembilan, maka akan terlihat bahwa angka 7 terletak pada baris ke 10 atau 7-9 = 10, contoh lain ;
·         Jam 12-an = 6 - 11 = 7, karena dengan membilang mundur 11 langkah dari 6 berada pada angka 7
·         Jam 7-an = 2 - 6 = 3,  karena dengan membilang mundur 6 langkah dari 2 berada pada angka 3
·         Jam 5-an = 3 - 4 = 1,  karena dengan membilang mundur 4 langkah dari 3berada pada angka 1

c. Perkalian
Perkalian pada bilangan jam dapat dilakukan dengan penjumlahan berulang seperti pada bilangan cacah, berikut operasi perkalian pada bilangan jam dalam 3 jenis jam;
·         Jam 12-an = 3 x 6 = 6, karena 6+6+6 = 18 : 12 sisa 6
·         jam 7-an = 5 x 3 = 1, karena 3+3+3+3+3= 15 : 7 sisa 1
·         Jam 5-an = 3 x 4 = 2, karena 4+4+4= 12 : 5 sisa 2

d. Pembagian
Operasi pembagian bilangan jam sebenarnya adalah lawan dari perkalian,  sebagai contoh dalam jam 12-an = 
8 : 5 = x  jika dan hanya jika 8 = 5 .  x (1-12). karena 5 x 4 = 


2.      ARITMATIKA MODULAR
Apabila pada aritmatika jam angka yang terbesar diganti dengan angka 0, maka aritmatika jam ini angka berubah menjadi aritmatika modular, sebagai contoh
Apabila pada aritmatika jam 12 angka 12 diganti dengan angka 0, maka bentuk aritmatika jam -12, seperti ini dinamakan aritmatika modular -12 begitu juga aritmatika jam -4 atau -5
Untuk memudahkan dalam menentukan hasil operasi penjumlahan dan operasi perkalian dapat digunakan TABEL sbb :
Tabel Penjumlahan Aritmatika Modular -5
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
q
P
2
3
           
Contoh :
Penggunaan TABEL penjumlahan aritmatika modular 5
3  4 = 2
4  4 = 3
4  1 = 0
Beberapa contoh aritmatika modular yang berlaku untuk semua anggota yang ada dalam system tersebut.
A.    Hukum asosiatif penjumlahan
(2 + 3) + 4) = 2 + (4 + 4)
0 + 4 = 2 + 2
4 = 4
B.     Assosiatif Perkalian
(2 x3) x 4 = 2 x (3 x 4)
1 x 4 = 2 x 2
4 = 4
Dalam aritmatika modular, nol (0), mempunyai peran yang sama seperti pada system bilangan bulat yaitu :
A + 0 = 0 + a = 0

3.      Kongruensi
Apabila a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan asli, maka a kongruansi dengan b modular m ditulis a = b (mad m) jika dan hanya jika       m / (a-b)
Contoh :
12 = 5 (mod, m) karena 7/(102-3)
14 = 5 (mod, 9) karena 9/(14-5)
100 = 1 (mod, m) karena 11/(100-1)
Apabila a dan b tidak kongruen modular m, dituliskan a ≠ b (mad, m)
17 ≠ 3 (mad, 5), karena 5 bukan pembagian dari (17-5), atau 5/12
-7 ≠ 2 (mod, 5), karena 5 bukan pembagian dari (-7-2) atau 5/-9
Sifat :
Apabila = b (mad m) dan a = d (mad m) maka
a + c = b + d (mod M)
a.c = b.d (mod M)
4.      Fungsi Linier
Salah satu kegunaan yang menarik dari system rasidu modular M, adalah untuk menyelesaikan kongruensi-kongruensi linier yaitu kongruensi yang terbentuk ax = b (mod M) a ≠ 0
Contoh :
Misalkan 2 x = 4 (mod 7)
Nilai-nilai x yang memenuhi kongruensi 2x= 4x (mod 7) ini adalah 19-12,-5,2,9,16 maka penyelesaiannya dari kongruensi ini adalah 2 yaitu residu terkecil modular yang memenuhi 2x= 1 (mod 4) tidak mempunya penyelesaian, karena tidak ada suatu bilangan bulat x dimana 4/(2x-1)
Sifat 8.8
Apabila FPB dari a dan m dan bukan pembagi dari b maka kongruensi linier ax = b (mod m) tidak mempunyai penyelesaian
Hal lain yang berhubungan dengan kongruensi linier ini adalah menentukan penyelesaian bersama dengan kongruensi linier simultan.
Contoh :
Tentukanlah penyelesaian bersama dari kongruensi linier simultan
x = 2 (mod 3)
x = 3 (mod 5)
x = 2 (mod 4)
x = 2 (mod 3) maka x = 2 + 3 +……(1)
Di subsitusikan x =2 + 3 + 4 kedalam x = 3 (mod 5), maka akan diperoleh
2 + 3 t = (mod 5)
3t = L (mod 5)
3t = 6 (mod 5)
t1 = 2 (mod 5) atau
t1 = 2 + 5t2…..(20)
Sifat :
Apabila a = b (mod m), maka ac = b = bc (mod m) dimana m bilangan bulat
a = bc (mod m), berarti bahwa a = mp + b, bilangan bulat +jadi ac = mpc + bc
ac = bc = mpa
maka ac = bc (mod m)
Sifat habis dibagi a dan habis dibagi 3
Bilangan asli dalam system decimal dapat diformulasikan kedalam berikut : N = a0 + a1.10 + a2 (10)2 + a3 (10)3 +……+an
(10)n…..2
Kita ketahui bahwa
10 = 1 (mod 9) = 1 (mod 3)
102 = 1 (mod 9) = 1 (mod 3)
10 3 = 1 (mod 9) = 1 (mod 3)
Sifat habis dibagi II
Dengan cara yang akan dapat dibuktikan sifat habis di bagi oleh II sebagai berikut :
Contoh :
Periksalah kebenaran penjumlahan 348 + 567 + 432 = 1347
348 = 3 + 4 (mod 9)
= 15 (mod 9)
= (mod 9)
567 = 5 + 6 + 7 (mod 9)
= 18 (mod 9)
= 0 (mod 9)
342 = 4 + 3 + 2 (mod 9)
= 9 (mod 9)
= 0 (mod 9)
Jadi 348 + 567 + 432 = 6 + 0 + 0 (mod 9)= 6 (mod 9)… (+)
Disubsitusikan (2) kedalam (1) di peroleh
X = 2 + 3 (2 + 5t2)
= 8 + 15t2…(3)
Subsitusikan (3) kedalam x = 1 (mod 4) diperoleh
8 + 15t2 = 1 (mod (4)
15t2 =-7 (mod4)
= -15 (mod 4)
t2 =-1 (mod 4)= 3 (mod 4)

= 3 + 4 + 3